Radote skaičių, kuris tinka vietoje x? Neskubėkite džiaugtis – ši lygtis turi vieną kabliuką

Lygtis x : 2 = 8 : x atrodo tokia paprasta, kad atsakymą norisi pasakyti vos į ją pažvelgus. Tačiau rasti tinkamą skaičių ir išspręsti visą užduotį – ne visai tas pats. Čia lengva sustoti per anksti ir nepastebėti dar vieno teisingo sprendinio.

Šiam galvosūkiui nereikia skaičiuotuvo ar ilgų formulių. Pakanka prisiminti dalybos taisykles ir vieną svarbią neigiamųjų skaičių savybę. Vis dėlto prieš skaitydami paaiškinimą pabandykite lygtį išspręsti savarankiškai: kokį skaičių įrašytumėte vietoje x?

Užduotis tokia:

x : 2 = 8 : x

Abiejose lygybės pusėse raidė x reiškia tą patį skaičių. Negalima kairėje pasirinkti vienos reikšmės, o dešinėje – kitos. Įrašius pasirinktą skaičių į abi vietas, dalybos rezultatai turi sutapti.

Vieną atsakymą galima pastebėti iš karto

Daugeliui pirmiausia į galvą ateina skaičius 4. Patikrinti jį paprasta: keturis padaliję iš dviejų gauname du, o aštuonis padaliję iš keturių taip pat gauname du.

Taigi:

4 : 2 = 8 : 4

2 = 2

Viskas teisinga. Tačiau užduotyje nepasakyta, kad nežinomasis turi būti teigiamas arba priklausyti tik natūraliųjų skaičių aibei. Vadinasi, vien radus ketvertą dar negalima būti tikriems, kad daugiau sprendinių nėra.

Būtent čia ir slypi pagrindinė galvosūkio gudrybė: pirmasis tinkamas atsakymas pasirodo greitai, todėl norisi padėti tašką, nors skaičiavimai dar nebaigti.

Kaip išspręsti lygtį nepraleidžiant nė vienos reikšmės?

Pirmiausia verta pastebėti apribojimą: x negali būti lygus nuliui, nes dešinėje lygties pusėje iš jo dalijamas skaičius 8. Dalyba iš nulio neapibrėžta.

Dalybos ženklus pakeiskime trupmenomis:

x / 2 = 8 / x

Kad atsikratytume vardiklių, abi lygties puses padauginame iš 2x. Tai galime daryti, nes jau nustatėme, kad x nėra nulis.

Kairėje gauname x², dešinėje – 16:

x² = 16

Dabar klausimas skamba kitaip: kokį skaičių padauginę iš jo paties gauname šešiolika?

Tinka ketvertas:

4 × 4 = 16

Tačiau lygiai taip pat tinka ir minus keturi:

(−4) × (−4) = 16

Dviejų neigiamųjų skaičių sandauga yra teigiama. Todėl antrojo sprendinio atmesti negalima.

Ar minus keturi tikrai tinka pradinei lygčiai?

Gautas reikšmes verta patikrinti būtent pradinėje užduotyje. Su teigiamu ketvertu tai jau padarėme, o dabar abiejose x vietose įrašykime −4:

(−4) : 2 = 8 : (−4)

Kairėje pusėje neigiamą skaičių dalijame iš teigiamo, todėl gauname −2. Dešinėje teigiamą skaičių dalijame iš neigiamo – rezultatas irgi −2:

−2 = −2

Lygybė teisinga. Vadinasi, antrasis skaičius tenkina užduoties sąlygą taip pat gerai kaip pirmasis.

Klaida, dėl kurios lieka tik pusė atsakymo

Dažniausiai suklystama pasiekus eilutę x² = 16. Prisiminus, kad kvadratinė šaknis iš 16 yra 4, užrašomas tik teigiamas skaičius. Tačiau lygtis klausia, kokios x reikšmės pakeltos kvadratu duoda 16, o tokių reikšmių yra dvi.

Svarbus ir užduoties formulavimas. Jeigu būtų aiškiai prašoma rasti tik teigiamą skaičių, atsakymas būtų vienas – 4. Šioje sąlygoje tokio apribojimo nėra.

Galutinis atsakymas: x = 4 arba x = −4. Abu skaičiai, įrašyti į abi nežinomojo vietas, paverčia lygybę teisinga.